선대/마르코프 연쇄(Markov Chain)와 확률 행렬(Stochastic Matrix)

마르코프 연쇄란 시간에 따른 어떤 계의 상태가 확률적으로 변화하는 과정과 결과를 나타낸다. 또는 이산 확률 과정 중 마르코프 특성을 따르는 것이라고도 한다. 마르코프 특성이 뭔지 그 정의부터 시작하면 어려우니까 예시를 하나 들어보자.

선대/similar matrix(닮음 행렬)에 대해

1. 개요

선대 책 보다가 similar가 자주 나와서 한 번 정리해본다. similar란, 같은데 표현만 다르다고 생각하면 된다. 가령 행렬 A와 B가 similar하다고 하면 둘은 같은 선형변환 T의 서로 다른 표현이라고 할 수 있다. similar라는 개념은 여러 가지로 유용하게 쓰인다.

[프리드버그 선형대수]5.3.Matrix Limits and Markov Chains(행렬 극한과 마르코프 체인)

이번 section에서 배우는 내용을 한 마디로 말하면 "정방행렬의 거듭제곱의 극한과 그 활용" 정도가 될 것 같다. 그 중 핵심은 Markov process와 Markov chain인데, 구글의 페이지링크에도 활용되는 등 공학적으로 많은 의의를 가진다고 한다. Markov chain은 이산 확률 과정(Descrete-time Stochastic process)의 한 종류인데, 충분히 많이 반복하면 안정 상태에 도달한다. 이게 무슨 소리인지 이해하기 위해서는 먼저 행렬의 거듭제곱의 극한, 전이 행렬(transition matrix or stochastic matrix) 그리고 확률 벡터(probability vector)에 대해 이해해야 한다.

[프리드버그 선형대수]5.2.Diagonalizability(대각화 가능성)

section 5.1에서 대각화(diagonalization)에 대해 대략 그것이 무엇이고 그와 관련된 고유값(eigenvalue), 고유벡터(eigenvector), 고유다항식(characteristic polynomial) 등의 개념을 배웠다. 이번 section에서는 어떤 연산 혹은 행렬이 대각화 될 수 있는지를 배운다.

[프리드버그 선형대수]5.1.Eigenvalues and Eigenvectors(고유값과 고유벡터)

Chapter 5의 핵심은 Diagonalization(대각화)이다. 어떤 선형사상 혹은 행렬이 대각화 가능하냐 그렇지 않느냐는 활용적인 측면에서 몹시 중요한 것 같다. 대각화에 대해 알기 위해서는 우선 이 section에서 배우는 내용을 잘 이해해야 한다. 이 Section의 이름은 "고유값과 고유벡터"로 번역되는데, 대각화 가능(diagonalizable)과 고유값, 고유벡터, 그리고 charateristic polynomial(고유다항식)의 정의와 정리가 나온다. 이 부분들은 sec 5.3의 Markov chain 그리고 sec 5.4의 Cayley-Hamilton 정리와 연관되므로 확실히 알아둘 필요가 있다. 특히 section 마지막의 eigen-decomposition을 주의깊게 보아야 한다.