1. 개요
선대 책 보다가 similar가 자주 나와서 한 번 정리해본다. similar란, 같은데 표현만 다르다고 생각하면 된다. 가령 행렬 A와 B가 similar하다고 하면 둘은 같은 선형변환 T의 서로 다른 표현이라고 할 수 있다. similar라는 개념은 여러 가지로 유용하게 쓰인다.2. 정의
Friedberg-Insel-Spence의 선형대수학 책 4판에 따르면 similar는 다음과 같이 정의된다.
Definition. Let A and B be matrices in \(M_{n \times n}(F)\). We say that B is similar to A if there exists an invertible matrix Q such that \(B=Q^{-1}AQ\).
즉, A와 B가 n행 n열 행렬이라고 할 때 B가 A와 similar 하다는 것은 어떤 가역인 행렬 Q가 있어서 \(B=Q^{-1}AQ\)가 성립한다는 것을 의미한다.
3. 응용
임의의 선형 연산자 T는 순서기저에 상관없이 행렬표현이 다 similar 하다.
즉, 만약 V에서 선형 연산자 T가 순서기저로 \(\beta , \beta '\)를 가진다면, \([T]_{\beta '} = Q^{-1}[T]_\beta Q \)가 성립한다. 이건 \( TI = IT = T\)임을 이용해서 증명할 수 있다.
이건 대각화(Diagonalization)을 배울 때 엄청 등장한다.
nxn 정방행렬 A가 만약 대각화 가능하다면 A의 eigenvalue를 주대각성분으로 가지는 대각행렬 D와, 각 eigenvalue에 해당하는 eigenvector로 이루어진 가역행렬 Q를 찾아서 \(D=Q^{-1}AQ\)로 쓸 수 있다. 여기서 A와 D는 당연히 similar하다.
이걸 통해 여러 가지를 알 수 있다. 연습문제를 풀 때도 엄청 쓰인다.
1. similar 한 행렬들의 대각합(trace)은 모두 같다. \(tr(AB)=tr(BA)\)임을 통해 증명한다.(연습문제 5.1.16)
2. similar 한 행렬들의 고유다항식(characteristic polynomial)은 모두 같다. 이를 이용하면 어떤 유한차원 벡터공간에서 선형 연산자의 고유다항식은 벡터공간의 어떤 기저를 고르든 상관없이 동일함을 보일 수 있다.(연습문제 5.1.12)
3. nxn 정방행렬 A와 B가 similar 하다면 \(A=[T]_{\beta} , B=[T]_{\gamma} \) 을 만족하는 n차원 벡터공간 V에서의 선형연산자 T와, V의 순서기저 \(\beta , \gamma\) 가 존재한다. (연습문제 5.1.19)
4. 연립미분방정식을 풀 때도 이용된다. (Section 5.2)
5. 행렬 A가 대각화 가능하다면 A의 제곱을 간단히 구할 수 있다. \(A=Q^{-1}DQ\) 로 쓸 수 있으므로, \(A^n=Q^{-1}D^nQ\) 이다. 이를 통해 n번째 피보나치 수도 구할 수 있다. 피보나치 수 구하는 코드는 이 방식으로 짜야지, 재귀함수로 짜다간 망한다.
덧. similar가 처음 나왔을 때 별로 안 중요한 줄 알고 대충 넘어갔다가 문제를 풀며 고통받은 후, 이 책에는 중요하지 않은 정의가 없다는 걸 깨닫게 되었다. ㅠㅠ
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